Özetler

Başlık: Wolbachia Enfeksiyonu Olan Biseksüel Popülasyonların Evrim Cebiri Olarak incelenmesi

Müge KANUNİ ER, TEV İnanç Türkeş Özel Lisesi

Özet:

Konak üremesinin mikroorganizmalar tarafından manipülasyonu, evrimsel biyolojide kapsamlı biçimde incelenmiştir.
Bu tür manipülasyonların belirgin bir örneği Wolbachia adlı bir parazittir. Wolbachia esas olarak böceklerde görülür ve anneden yavruya geçiş yoluyla aktarılabilir. Enfekte bir erkek ile enfekte olmayan bir dişinin çiftleşmesi durumunda embriyo ölümüne yol açar.

Wolbachia enfeksiyonunun iki farklı etkisi bulunmaktadır. İlki, enfeksiyonun şiddetine bağlı olarak konak canlının dang humması taşıma yetisi (vektör yeterliliği) azalır. İkincisi ise popülasyonda sitoplazmik uyumsuzluk (CI) gelişmesidir. Sitoplazmik uyumsuzluk, belirli bir Wolbachia suşuyla enfekte olmuş erkek bireylerle, bu suşla enfekte olmayan dişiler arasında görülen üreme uyumsuzluğudur.

Bu konuşmada, sabit bir sitoplazmik uyumsuzluk oranı ( $w$ ) ve anneden bulaşma oranı ( $d$ ) olan biseksüel ve diploid bir popülasyonda görülen Wolbachia enfeksiyonu bir evrimsel cebir olarak incelenmektedir. Popülasyondaki sitoplazmik uyumsuzluk (CI), yavru bireylerin ölümüne yol açtığından bu modelin evrim cebiri barik değildir. Bu cebir yalnızca $w=1$ ve $d=1$ olduğunda dibarik bir cebir olur. İdempotent elemanlar $d$ ve $w$ parametreleri cinsinden verilmiştir. Üstelik $w \neq 1$ olduğunda bu cebirin hiçbir mutlak nilpotent elemanı yoktur.

Bu çalışma Songül Esin ve Barış Özdinç ile ortak yürütülmüştür.

Kaynaklar

[1] Bech, N., Beltran-Bech, S., Chupeau, C., Peccoud, J., Thierry, M., Raimond, R., Caubet, Y., Sicard, M., Grève, P., Experimental evidence of Wolbachia introgressive acquisition between terrestrial isopod subspecies, Current Zoology 67(4):455-464, (2021).

[2] Bustamante, M. D., Mellon, P., Velasco, M. V., Determining when an algebra is an evolution algebra, Mathematics 8(8):1349, (2020).

[3] Ceballos, M., Falcon, R. M., Nunez-Valdes, J., Tenorio, A. F., A historical perspective of Tian’s evolution algebras, Expositiones Math. 40:819-843, (2022).

[4] Engelstädter, J., Hurst, D. D. G., The ecology and evolution of microbes that manipulate host reproduction, Annu. Rev. Ecol. Evol. Syst. 40:127-149, (2009).

Başlık: Sonlu Boyutlu Cebirlerin Birim Çarpım Özelliğine Sahip Bilineer Fonksiyonelleri

Çağrı DEMİR, Ege Üniversitesi

Özet:

$\mathcal{A}$ birimli bir $\mathbb{F}$ -cebir ve $\varphi:\mathcal{A}\times \mathcal{A}\rightarrow \mathbb{F}$ bilineer bir fonksiyonel olsun. Eğer

$\varphi(u,u^{-1})=\varphi(1,1)$

eşitliği her $u\in U(\mathcal{A})$ tersinir elemanı için sağlanıyorsa, $\varphi$ bilineer fonksiyoneli birim çarpım özelliğine sahip deriz. $A$ cebirinin birim çarpım özelliğine sahip her $\varphi:\mathcal{A}\times \mathcal{A}\rightarrow \mathbb{F}$ bilineer fonksiyoneli, uygun $\tau_{1}, \tau_{2}:\mathcal{A}\rightarrow \mathbb{F}$ lineer fonksiyonelleri için

$\varphi(x,y)=\tau_{1}(xy)+\tau_{2}(yx), \ \ \ x,y\in \mathcal{A}$

şeklinde yazılabiliyorsa $\mathcal{A}$ cebirine \emph{birim çarpım belirlenimli} (veya birim çarpımla belirli) bir cebir deriz.

Bu konuşmada sonlu boyutlu birim çarpım belirlenimli cebirlerin yapısal özellikleri ele alınacaktır. Amaç, bir cebirin birim çarpım belirlenimli olmasını sağlayan yapısal koşulları anlamak ve bu özelliğin farklı cebir sınıfları altında nasıl davrandığını ortaya koymaktır. Bu kapsamda makul bazı kısıtlamalar altında basit, yarıbasit, yerel ve üçgensel cebirler gibi çeşitli sonlu boyutlu cebir sınıfları ele alınarak birim çarpım belirlenimli olup olmadıkları tartışılacaktır. Böylece birim çarpım belirlenimli cebirlerin sonlu boyutlu cebirler kuramı içindeki konumunun belirlenmesine yönelik bir çerçeve sunulacaktır.

Mevcut yaklaşımın, sonlu boyutlu cebirlerin rasyonel fonksiyonel özdeşliklerini incelemek için yeni ve doğal bir bakış açısı sunduğu düşünülmektedir. Bu çalışma Utkan Utkaner ile ortak yürütülmüştür.

Kaynaklar

[1] N. Argaç, M. P. Eroğlu, T.-K. Lee, J.-H. Lin, \emph{Identities with inverses on matrix rings}, Linear Multilinear Algebra 68(3), 635–651, (2020).

[2] M. Brešar, Zero product determined algebras. Front. Math. Birkhäuser/Springer, Cham, viii+185 pp., (2021).

[3] M. Brešar, M. A. Chebotar, W. S. Martindale, Wallace III, Functional identities. Front. Math. Birkhäuser Verlag, Basel, xii+272 pp., (2007).

[4] N. Cezayirlioğlu, Ç. Demir, \emph{On a certain functional identity involving inverses in division rings and local rings}, J. Algebra Appl. 24(9), Paper No. 2550220, 16 pp., (2025).

[5] T. J. Ford, Separable algebras. Grad. Stud. Math., 183 American Mathematical Society, Providence, RI, xxi+637 pp., (2017).

Başlık: İnjektiflik ve Altinjektiflik Bölgeleri İçin Genişleme Özelliği

Engin BÜYÜKAŞIK, İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü

Özet:

$R$ birimli bir halka, $\mathrm{Mod}\text{-}R$ sağ $R$ -modüller kategorisi ve $\mathcal{D} \subseteq \mathrm{Mod}\text{-}R$ olsun. Sağ $R$ -modüllerinden oluşan her $0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$ kısa tam dizisi için, $A$ ve $C$ modülleri $\mathcal{D}$ sınıfına ait olduğunda $B$ modülünün de $\mathcal{D}$ sınıfına ait olması durumunda, $\mathcal{D}$ sınıfı \emph{genişlemeler altında kapalıdır} denir.

Bu konuşmada, injektiflik, altinjektiflik ve altprojektiflik bölgeleri ile bunlarla ilişkili bazı modül sınıflarının genişlemeler altında kapalılığından ve bunların bazı modül ve halka sınıflarına uygulamalarından bahsedilecektir.

Kaynaklar

[1] Aydogdu, P., Lopez-Permouth, S. R. (2011). An alternative perspective on injectivity of modules. J. Algebra, 338, 207-219.

[2] Büyükasık, E. Subinjective and subprojective extension-reflecting modules. https://arxiv.org/abs/2507.11221.

[3] Durgun, Y., Özdemir, S. (2025). On subinjectivity domains of finitely generated modules. Comm. Algebra, 53(12), 5170–5182.

[4] Er, N. (2016). Rings characterized via a class of left exact preradicals. Proc. Edinb. Math. Soc. 59, 641–653.

[5] Meriç, E. T. (2021). When proper cyclics are homomorphic image of injectives, Comm. Algebra 49(1), 151-161.

[6] Lopez-Permouth, S.R., Simental, J. E. (2012) Characterizing rings in terms of the extent of the injectivity and projectivity of their modules. J. Algebra 362, 56-69.

[7] Saraç, B., Lopez-Permouth, S.R., Zamora-Erazo, S. (2020) Rings without a middle class from a lattice-theoretic perspective, Mediterr. J. Math. 17:55.

Başlık: Portföyler Yardımıyla Noether ve q.f.d. Özelliklerinin Kapsamının Ölçülmesi

Sultan Eylem TOKSOY, Hacettepe Üniversitesi

Özet:

Modül teorisinde gelişmekte olan bir eğilim, bir modülün belirli bir özelliği taşıyıp taşımadığını belirlemektense, bu özelliği ne ölçüde taşıdığını ölçmeye odaklanmaktır. Bir modülün bir özelliği taşıma derecesine \textit{portföy} denir ve bu özelliğe göre mümkün olan portföylerin sınıfı, halkanın o özelliğe göre \textit{profili} olarak adlandırılır. Bu bağlamda, bir halka üzerindeki modüller, aynı portföyü paylaşan modüllerin oluşturduğu eşdeğerlik sınıfları olan \textit{katmanlara} ayrılabilir.

Belirli katmanların kararlılığı (stability), halka için bir özellik olarak ele alınabilir. Eğer belirli bir katmandaki modüllerin keyfi dik toplamları yine aynı katmana ait oluyorsa, bu durumda söz konusu katman (veya onu belirleyen portföy) \textit{kararlı} olarak adlandırılır.

[3]’te bir halkanın sağ Noether halka olması ile tüm injektif portföylerin kararlı olması arasında bir eşdeğerlik olduğu gösterilmiştir. Aynı çalışmada \textit{uçucu halka} kavramı, Noether olmanın zıttı olarak tanımlanmış ve yalnızca \textit{yoksul (poor)} modüllerin oluşturduğu katmanın kararlı olduğu halkalara \textit{uçucu halka} denmiştir.

[4]’te ise q.f.d. halkaların [1]’de verilen karakterizasyonu benzer bir bakış açısıyla ele alınmış ve zayıf-injektiflik profilindeki kararlılık incelenerek bir halkanın q.f.d. olmaya ne kadar yakın olduğu belirlenmeye çalışılmıştır. \textit{Zayıf injektif olarak uçucu halkalar} q.f.d. olmanın zıttı olarak tanımlanmış, zayıf injektif olarak uçucu halkalara örneklerin yanı sıra, uçuculuk ile zayıf-injektif olarak uçuculuk arasındaki ilişki de ele alınmıştır. [2]’de zayıf-injektifliğe dair sunulan iki farklı yaklaşım, [4]’te dörde çıkarılmış ve bu farklı yaklaşımlar arasındaki bağlantılar incelenmiştir.

Not: Yazar, 123F110 No’lu TÜBİTAK-1001 projesi tarafından desteklenmiştir.

Kaynaklar

[1] A. H. Al-Huzali, S. K. Jain ve S. R. López-Permouth, Rings whose cyclics have finite Goldie dimension, J. Algebra 153, 37–40, 1992.

[2] P. Aydogdu, S. R. López-Permouth ve M. L. S. Sandoval-Miranda, On the weak-injectivity profile of a ring, Bull. Malays. Math. Sci. Soc. 44, 35–53, 2021.

[3] S. R. López-Permouth ve B. Saraç, On the extent of injectivity of direct sums of modules, Quaestiones Math. 46 (7), 1469–1480, 2023.

[4] S. R. López-Permouth, B. Saraç ve S. E. Toksoy, On the extent of weak-injectivity of direct sums of modules, J. Algebra Appl., 2025. https://doi.org/10.1142/S0219498825420149.

Başlık: Kodlama Kuramına Giriş

Murat ALTUNBULAK, Dokuz Eylül Üniversitesi

Özet:

Bu konuşmada, güvenilir veri iletimi ve depolamanın matematiksel temeli olan kodlama kuramına (coding theory) kısa bir giriş sunulacaktır. Shannon’ın öncü çalışmalarıyla başlayan süreçten hareketle, gürültülü haberleşme kanallarında ortaya çıkan hatalara karşı bilgilerin nasıl korunabileceği ele alınacaktır.

Sonlu cisimler üzerindeki lineer kodlar, üreteç (generator) ve denetim (parity-check) matrisleri ile uzunluk, boyut ve asgari mesafe gibi temel kod parametreleri tanıtılacaktır. Bu kavramların, etkili kodlama ve çözme (decoding) yöntemlerinin tasarımında nasıl kullanıldığı açıklanacaktır. Ayrıca, kodların inşasında ve analizinde cebirsel yapıların rolü ile lineer cebirin hem kuramsal hem de uygulamalı açıdan sağladığı araçlar vurgulanacaktır.

Son olarak, kodlama kuramının dijital haberleşme, veri depolama sistemleri ve ağ ortamlarındaki güncel uygulamalarına kısaca değinilecektir. Bu seminerin amacı, konunun matematiksel bakış açısını net bir şekilde sunmak ve soyut cebirsel yöntemlerin güvenilir haberleşme teknolojilerine nasıl dönüştüğünü göstermektir.