Simetrik Polinomların Temel Teoremi, Newton Özdeşlikleri ve Diskriminant – Dokuz Eylül Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü

Mustafa Eren Taşlı, Dokuz Eylül Üniversitesi. Tarih: 26 Aralık 2024, Çarşamba, Saat: 15.00 – 16.00. Yer: Dokuz Eylül Üniv., Tınaztepe Kampüsü, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Sınıf B254.

Özet: $F$ cismi üzerinde $n$ değişkenli simetrik polinomların ve temel simetrik polinomların tanımlarını yapıp,
Simetrik Polinomların Temel Teoremini göreceğiz. $x_1,x_2,\ldots,x_n$ değişkenli temel simetrik polinomlar şunlardır:

$\begin{align*} \sigma_1=&x_1+x_2+\ldots+x_n \\ \sigma_2=&\sum_{1 \le i < j \le n} x_ix_j \\ \vdots\\ %\ \sigma_r=&\sum_{1 \le i_1 < \ldots <i_r \le n} x_{i_1}x_{i_2}\ldots x_{i_r}\\ %\ \vdots \\ \sigma_n =&x_1 x_2 \ldots x_n \end{align*}$

Simetrik Polinomların, Temel Teoremi bize, her simetrik polinomun, temel simetrik polinomların bir polinomu şeklinde yazılabileceğini söyler, yani:
Teorem. $F$ cismi üzerinde n değişkenli $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ polinomu simetrikse, öyle bir n değişkenli $g(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ polinomu vardır ki

$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)= g(\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_n)$

sağlanır ve bunu sağlayan $n$ değişkenli $g(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ polinomu tek türlü belirlenir.

Bu teoremi çokdeğişkenli polinomlar için \textit{derecelendirilmiş sözlük sırasını} kullanarak kanıtlayacağız.

Newton özdeşliklerindeki indirgeme bağlantılarını kullanarak değişkenlerin kuvvetlerinin toplamını, yani, $k$ pozitif tamsayısı için

$s_k=x_1^k+x_2^k+\ldots+x_n^k$

simetrik polinomlarını, temel simetrik polinomlar cinsinden yazabilmeyi öğrenip örneklerle pekiştireceğiz.\\

$F$ cismi üzerinde $x_1,x_2,\ldots,x_n$ değişkenli diskriminant şudur:

$\Delta = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_i - x_j)^2 \in F[x_1, \dots, x_n].$

Diskriminant simetrik bir polinomdur ve bunun temel simetrik polinomlar cinsinden ifadesini determinant kullanarak göreceğiz.

Bu seminer, Simetrik Polinomların Temel Teoremi, Newton Özdeşlikleri, Diskriminant ve Resültant konulu bitirme projemin bir parçası olarak, $n$ ‘ninci dereceden bir polinomun diskriminantını ( $\Delta$ ) polinomun köklerini bulmadan hesaplama yöntemine bir giriş niteliği taşımaktadır.

Mustafa-Eren-Taşlı_Simetrik-Polinomların-Temel-Teoremi_26-Aralık-2024-Perşembe_saat-15-00_Sınıf-B254