Özetler – Dokuz Eylül Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü

Gröbner Tabanları

Merve Algı, Afyon Kocatepe Üniversitesi

Özet: Gröbner tabanları; 1965’te Bruno Buchberger tarafından tez danışmanı olan Wolfgang Gröbner’e itafen doktora tezinde tanıtılmıştır. Bu teorinin arkasında yatan temel fikir tek değişkenli polinomların teorisinin bir genellemesi olarak belirlenebilir. $k$ bir cisim olmak üzere tek değişkenli polinomların $k[x]$ halkasında herhangi bir $I$ ideali, $I$ ‘daki elemanların en büyük ortak böleni olan bir tek eleman tarafından üretilebilir. $I$ ideali için üreteçlerin herhangi bir ${f_1,f_2,\ldots f_s}\subseteq k[x]$ altkümesi verildiğinde (Öklid algoritması kullanılarak) $I=\langle f_1,f_2,\ldots,f_s\rangle=\langle d\rangle$ olacak şekilde bir tek \nolinebreak $d=\mbox{gcd}(f_1,f_2,\ldots,f_s)$ polinomu bulunur. Bu durumda bir $f\in k[x]$ polinomunun $I$ ‘da olması için gerek ve yeter koşul $f$ ‘nin $d$ ile bölümünden kalanın sıfır olmasıdır. Gröbner tabanları; çok değişkenli polinom halkalarında en büyük ortak bölenlerin aşağıdaki anlamda analoğudur. Bir $I\subseteq k[x_1,x_2,\ldots,x_s]$ ideali için bir Gröbner taban; $I$ için özel bir üreteç kümesidir öyle ki: bir $f\in k[x_1,x_2,\ldots, x_s]$ polinomunun $I$ ‘da olması için gerek ve yeter koşul $f$ ‘nin Gröbner tabanda yer alan polinomlarla bölümünden kalanın sıfır olmasıdır. (Burada sıralama ve bölme kavramları önemli rol oynar.) Öncelikle Gröbner taban kavramı ile ilgili temel bilgileri ve özellikleri ifade edeceğiz. Buchberger algoritması kullanılarak Gröbner tabanın nasıl hesaplandığını göstereceğiz. Daha sonra Gröbner taban teorisini bir polinom halkası üzerindeki bir sonlu üretilmiş serbest modülün altmodüllerine genişleteceğiz. Böylece sonlu üretilmiş modüllerin syzygy modüllerinin nasıl belirlendiğini açıklayacağız.

Kaynaklar
[1] V. Ene, J Herzog (2012). Gröbner Bases in Commutative Algebra (Graduate studies in mathematics; v.130). American Mathematical Society, 201 Charles Street, Providence, Rhode Island 02904-2294 USA.
[2] W. W. Adams, P. Loustaunaou (1994). An introduction to Gröbner Bases. American Mathematical Society.
[3] T. Becker, V.Weispfenning (1993). A Computational Approach to Commutative Algebra, Springer-Verlag New York.

Burulmasız Modüller

Mücahit Bozkurt, Çukurova Üniversitesi

Özet: $R$ bir tamlık bölgesi ve $M$ bir sağ $R$ -modül olsun. Eğer $x\in M$ ve $r\in R$ için $xr=0$ iken $x=0$ veya $r=0$ oluyorsa $M$ modülüne burulmasız modül denir. Hattori $[1]$ ‘de bir tamlık bölgesi üzerinde burulmasız modüllerin homolojik özelliklerinden esinlenerek değişmeli olmayan halkalar üzerinde burulmasız modülleri tanımlamış ve incelemiştir. $R$ değişmeli olmayan bir halka olmak üzere $X$ bir sağ $R$ -modül olsun. Her $r\in R$ için $Tor_{1}(X, R/Rr)=0$ ise $X$ ‘e burulmasız modül denir. Burulmasız modüllerin nispeten bölünebilir (RD) alt modüller ile yakın bir ilişkisi mevcuttur. $C$ bir sol $R$ -modül olmak üzere $C$ modülünün burulmasız olması için gerek ve yeter şart $0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$ tam dizisinin $RD$ -tam olmasıdır. $M$ bir sağ $R$ -modül ve $N$ bir sol $R$ -modül olsun. Eğer sol $R$ -modüllerin her $0\rightarrow H\rightarrow F\rightarrow N\rightarrow 0$ kısa tam dizisi için $0\rightarrow M\otimes H\rightarrow M \otimes F\rightarrow M\otimes N\rightarrow 0$ dizisi tam oluyorsa $M$ ‘ye $N$ -altdüz ( $N$ -subflat) denir. $M$ $N$ -altdüz olacak şekilde tüm $N$ modüllerin topluluğuna $M$ ‘nin altdüz bölgesi denir ve $\mathfrak{F}^{-1}(M)$ ile gösterilir. Bir $M$ sağ modülünün düz olması için gerek ve yeter şart $\mathfrak{F}^{-1}(M)=R-Mod$ olmasıdır. Eğer $M$ $RD$ -düz sağ $R$ -modül ise $\mathfrak{F}^{-1}(M)$ tüm burulmasız sağ modüllerin sınıfını içerir. $\mathfrak{F}^{-1}(M)$ sınıfı tam olarak burulmasız modüllerin sınıfı ise $M$ $RD$ -düz modülüne burulmasız modüller için test modül, kısaca $tf$ -test modül diyeceğiz. Bu çalışmada Altdüz bölgelerinin temel özellikleri, Altdüz bölgeleri yardımıyla burulmasız halkalar için yeni karakterizasyonları ve burulmasızlık için test modüllerin varlığı incelenecektir.
Bu çalışma Tubitak tarafından desteklenmiştir. Proje No: $119F176$ .

Kaynaklar
[1] A. Hattori (1960). A foundation of torsion theory for modules over general rings. Nagoya Mathematical
Journal, 17, 147-158.
[2] L. Mao (2011). Properties of RD-projective and RD-injective modules. Turkish J. Math., 35(2), 187-205.
[3] R. Alizade and Y. Durğun (2017). Test modules for flatness. Rendiconti del Seminario Mathematico della
Universita di Padova, 137, 75-91.
[4] U. Albrecht, J. Dauns and L. Fuchs (2005). Torsion-freeness and non-singularity over right p.p.-rings, J.
Algebra, 1, 98-119.
[5] J. Dauns and L. Fuchs (2004). Torsion-freeness for rings with zero divisor, J. Algebra Appl.3(3), 1, 221-237.
[6] Y. Durğun (2016). An alternative perspective on flatness of modules, Journal of Algebra and Its App.,
15(08), 1650145.

$\mathbb{A}_n$ Tipli Kuiverlerin Auslander-Reiten Kuiverleri

Ayşenur Dinçer, Afyon Kocatepe Üniversitesi

Özet:1960’ların sonlarından bu yana, temsil teorisi; Maurice Auslander ve Idun Reiten tarafından, neredeyse parçalanan dizilerin tanıtılması ve Peter Gabriel tarafından, kuiverler ve kuiver temsillerinin tanıtılması nedeniyle hızla gelişmeye başlamıştır. Sonlu boyutlu cebirlerin temsil teorisinde kuiverlerin kullanımı; sonlu temsil tipli bir cebirin modüllerini, kuiver diyagramında bir okla ilişkilendirilen bir matrisler topluluğu olarak somut bir şekilde görselleştirilmesine imkân verir. Sonlu boyutlu bir cebirin temsil teorisini açıklamak için kullanılan temel araç; modüller ve aralarındaki morfizmler hakkında açık bilgi veren Auslander-Reiten kuiverleridir. Auslander-Reiten kuiverleri, kuiverlerin temsil teorisi hakkında; sırasıyla keyfi temsillerin, keyfi morfizmlerin ve kısa tam dizilerin yapı taşları olarak düşünülen, sırasıyla ayrıştırılamaz temsiller, indirgenemez morfizmler ve neredeyse parçalanan dizilerle ilgili bilgi edinmemizi sağlar. Özel olarak $\mathbb{A}_n$ – Dynkin tipli bir kuiverin Auslander–Reiten kuiverini hesaplamanın birkaç farklı yöntemini sunacağız. İlk yöntem; adını birbiri ardına örgü üretmesinden alan, tekrarlı bir yöntem olan örme algoritmasıdır. İkinci yöntem; temsillerin Auslander-Reiten çevirisi altındaki $\tau$ -yörüngelerinin hesaplanmasıdır. Üçüncü yöntem ise; geometrik olarak bir çokgenin üçgenselleştirilmesidir. Bundan başka “Neden Auslander-Reiten kuiver çizilir?” sorusunu cevaplayacağız. Son olarak, Auslander-Reiten kuiverlerinin önemini vurgulayan kısa bir temsil teorisi tarihi vereceğiz.

Kaynaklar
[1] R. Schiffler (2014). Quiver Representaions, Springer International Publishing Switzerland.
[2] M. Auslander, I. Reiten, S. O. Smalo (1995). Representation Theory of Artin Algebras, Cambridge Studies
in Advanced Mathematics, vol. 36, Cambridge University Press, Cambridge, MR 1314422 (96c:16015).
[3] I. Assem, F. U. Coelho (2020) Basic Representation Theory of Algebras, Springer Nature Switzerland.
[4] H. Treffinger, (2021) $\tau$ -Tilting Theory-An Introduction.

Artin Cebirlerindeki Dualiteler

Victor Blasco, Dokuz Eylül Üniversitesi

Özet: Bu konuşmada, kategorik dualite kavramını kontravaryant funktörler açısından tanıttıktan ve bazı örneklere baktıktan sonra Artin Cebiri üzerinde sonlu olarak üretilen modüller kategorisi ile onun ters cebiri arasındaki dualitenin varlığını göstereceğiz.

Kaynaklar
[1] Auslander, M., Reiten, I., Smalo, S. (1995). Representation Theory of Artin Algebras (Cambridge Studies
in Advanced Mathematics). Cambridge: Cambridge University Press.

İnce Kuver Temsilleri

İrem Yıldız, Dokuz Eylül Üniversitesi

Özet: Bu konuşmamızda bazı kuver çeşitlerini ve üzerlerindeki temsillerin temel özelliklerini göreceğiz.Tüm vektör uzaylarının boyutu ikiden küçükse, bir temsil ince olarak adlandırılır. Sonlu bağlantılı bir $Q$ kuveri üzerindeki tüm ayrıştırılamaz temsillerin, ancak ve ancak $Q$ , $A_n$ türündeyse ince olduğunu kantlayacağız.

Kaynaklar
[1] M. Ringel and J. Schröer (2012). Some unpublished notes.

Kuverlerin ko-Galois Grupları

Canan Özeren, Dokuz Eylül Üniversitesi

Özet: Bir $M$ modülü ve bir $\varphi:F \to M$ $\mathcal{F}$ -örtüsü için, $\varphi$ ‘nin \textit{ko-Galois grubu} $G(\varphi)$ , $\varphi \circ g = \varphi$ olacak şekilde bütün $g:F \to F$ otomorfizmalarını içeren, Aut $(F)$ grubunun bir alt grubudur.
Bu konuşmada, kuver temsilleri kategorisindeki örtülerle ilişkili ko-Galois gruplarını çalışmamızın motivasyonunu vereceğiz.

Kaynaklar
[1] E.E. Enochs, J.R.G. Rozas and L. Oyonarte (2000). Covering morphisms. Communications in Algebra,
28 (8) , 3823–3835.
[2] E.E. Enochs, S. Estrada and J.R.G. Rozas (2006). Galois and coGalois groups asociated with cotorsion
theories. Houston Journal of Mathematics, 32 (3), 651–663.
[3] P. Hill (2008). Abelian group pairs having a trivial coGalois group. Czechoslovak Mathematical Journal,
58 (133), 1069–1081.

On a Certain Functional Identity Involving Inverses in Division Rings and Local Rings

Nefise Cezayirlioğlu, Ege Üniversitesi

Özet: $D$ bir bölümlü halka, $\sigma$ $D$ bölümlü halkasının bir otomorfizması ve $u\in D$ sabit bir eleman olsun. $f,g:D\rightarrow D$ toplamsal dönüşümler olsun. Her $x\in D$ için $f(x)x^{-1}+\sigma(x)g(x^{-1})=u$ özdeşliğini sağlayan $f,g:D\rightarrow D$ toplamsal dönüşümlerinin formu belirlenecektir. $\sigma$ birim otomorfizma ve $D$ karakteristiği iki olan mükemmel olmayan bir cisim olmadıkça $f$ ve $g$ dönüşümlerinin genelleştirilmiş $\sigma$ -türev oldukları gösterilecektir. Daha sonra aynı rasyonel özdeşlik bazı kabuller altında yerel halkalarda da ele alınacaktır.

References
[1] Argaç, N., Eroǧlu, M.P., Lee, T.K. and Lin, J.H., 2020. Identities with inverses on matrix rings. Linear and Multilinear Algebra, 68(3), pp.635-651.

[2] M. Bresar(1990). Semiderivations of prime rings. Proc. Amer. Math. Soc., 108(4), 859-860.

[3] L. Catalano(2018). On a certain functional identity involving inverses. Comm. Algebra, 46(8), 3430-3435.

[4] P. M . Cohn(2003). Further Algebra and applications. , London: Springer-Verlag.

[5] J.M. Cusack (1975). Jordan derivations on rings. Proc. Amer. Math. Soc., 53(2), 321-324.

[6] I. N . Herstein(1969). Topics in ring theory. , London: University of Chicago Press.
[7] T.Y. Lam (2001). A first course in noncommutative rings (Graduate Texts in Mathematics, No. 131). New York-Berlin: Springer-Verlag.

[8] T.K. Lee (2016). Functional identities and Jordan $\sigma$ -derivations. Proc. Linear Multilinear Algebra, 64(2), 221-234.

[9] T.K. Lee (2017). Jordan \sigma-derivations of prime rings. Rocky. Mountain J. Math., 47(2), 511-525.

[10] T.K. Lee and J.H. Lin (2014). Jordan derivations of prime rings with characteristic two. Proc. Linear Algebra Appl., 462, 1-15.

[11] J. Vukman (1987). A note on additive mappings in noncommutative fields. Bull. Austral. Math. Soc., 36(3), 499502.