Engin Mermut

Simetrik Polinomların Temel Teoremi, Newton Özdeşlikleri ve Diskriminant

Yazarı:

Mustafa Eren Taşlı, Dokuz Eylül Üniversitesi. Tarih: 26 Aralık 2024, Çarşamba, Saat: 15.00 – 16.00. Yer: Dokuz Eylül Üniv., Tınaztepe Kampüsü, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Sınıf B254.

Özet: F cismi üzerinde n değişkenli simetrik polinomların ve temel simetrik polinomların tanımlarını yapıp,
Simetrik Polinomların Temel Teoremini göreceğiz. x_1,x_2,\ldots,x_n değişkenli temel simetrik polinomlar şunlardır:

    \begin{align*} \sigma_1=&x_1+x_2+\ldots+x_n \\ \sigma_2=&\sum_{1 \le i < j \le n} x_ix_j \\ \vdots\\ %\ \sigma_r=&\sum_{1 \le i_1 < \ldots <i_r \le n} x_{i_1}x_{i_2}\ldots x_{i_r}\\ %\ \vdots \\ \sigma_n =&x_1 x_2 \ldots x_n \end{align*}

Simetrik Polinomların, Temel Teoremi bize, her simetrik polinomun, temel simetrik polinomların bir polinomu şeklinde yazılabileceğini söyler, yani:
Teorem. F cismi üzerinde n değişkenli f(x_1,x_2,\ldots,x_n) polinomu simetrikse, öyle bir n değişkenli g(y_1,y_2,\ldots,y_n) polinomu vardır ki

    \[f(x_1,x_2,\ldots,x_n)= g(\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_n)\]

sağlanır ve bunu sağlayan n değişkenli g(y_1,y_2,\ldots,y_n) polinomu tek türlü belirlenir.

Bu teoremi çokdeğişkenli polinomlar için \textit{derecelendirilmiş sözlük sırasını} kullanarak kanıtlayacağız.

Newton özdeşliklerindeki indirgeme bağlantılarını kullanarak değişkenlerin kuvvetlerinin toplamını, yani, k pozitif tamsayısı için

    \[s_k=x_1^k+x_2^k+\ldots+x_n^k\]

simetrik polinomlarını, temel simetrik polinomlar cinsinden yazabilmeyi öğrenip örneklerle pekiştireceğiz.\\

F cismi üzerinde x_1,x_2,\ldots,x_n değişkenli diskriminant şudur:

    \[\Delta = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_i - x_j)^2 \in F[x_1, \dots, x_n].\]

Diskriminant simetrik bir polinomdur ve bunun temel simetrik polinomlar cinsinden ifadesini determinant kullanarak göreceğiz.

Bu seminer, Simetrik Polinomların Temel Teoremi, Newton Özdeşlikleri, Diskriminant ve Resültant konulu bitirme projemin bir parçası olarak, n‘ninci dereceden bir polinomun diskriminantını (\Delta) polinomun köklerini bulmadan hesaplama yöntemine bir giriş niteliği taşımaktadır.

Yükleniyor ...

Cardano’nun Formülü ve Casus Irreducibilis

Yazarı:

Çağdaş Çiğdemoğlu, Dokuz Eylül Üniversitesi. Tarih: 18 Aralık 2024, Çarşamba, Saat: 15.00 – 16.00. Yer: Dokuz Eylül Üniv., Tınaztepe Kampüsü, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Sınıf B255.

Özet: Bir genel monik kübik denklem olan

    \[ x^3 + bx^2 + cx + d = 0, \]

formundan başlayarak, bir değişken dönüşümü ile bu denklemi

    \[ y^3 + py + q = 0 \]

şekline dönüştüreceğiz. Daha sonra, denklemin köklerini bulmak için Cardano Formülleri‘ni oluşturacağız. Kökler şu şekilde ifade edilir:

    \[ y_1 = \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}, \]

    \[ y_2 = \omega \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}} + \omega^2 \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}, \]

    \[ y_3 = \omega^2 \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}} + \omega \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}. \]

Burada \omega = e^{i \frac{2\pi}{3}} = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, birimin primitif bir küp köküdür ve yukarıdaki kübik kökler, çarpımı -\frac{p}{3} olan üç karmaşık kübik kökten biridir ve bu kökler yukarıdaki formüllerde sabittir.

Kübik polinomun diskriminantını (\Delta) öğrenecek, bunun önemini anlayacak ve diskriminant değerinin değişimine bağlı olarak köklerin nasıl değiştiğini inceleyeceğiz.

Monik kübik polinom y^3 + py + q için diskriminant aşağıdaki gibi ifade edilir:

    \[ \Delta = -27q^2 - 4p^3 = (y_1-y_2)^2(y_1-y_3)^2(y_2-y_3)^2. \]

Genel monik kübik polinom x^3 + bx^2 + cx + d için, kökleri x_1, x_2, x_3 olduğunda, diskriminant aşağıdaki gibi ifade edilir:

    \[ \Delta = b^2c^2 + 18bcd - 4c^3 - 4b^3d - 27d^2 = (x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2. \]

Ayrıca Casus Irreducibilis konusunu ele alacağız. Bu durum, b, c, d (veya p, q) katsayıları \mathbb{R}‘nin bir alt cismi F‘de olduğunda, kübik polinomun F üzerinde indirgenemez olduğu (eşdeğer olarak, kübik denk\-lemin F‘de kökü olmadığı) ve diskriminantın pozitif olduğu durumlarda ortaya çıkar. Bu durumda, kübik denklemin üç farklı gerçel kökü vardır ve bu kökler gerçel köklü ifadeler kullanılarak ifade edilemez.

Bu seminer, Galois Teorisi kullanılarak Casus Irreducibilis‘in ispatını anlamaya yönelik projem için bir giriştir.

Yükleniyor ...

 

Abelyen Kategorilerde İdeallerin Sonsuz Üstleri

Yazarı:

Sinem Odabaşı, Institute of Physics and Mathematics, Science Faculty, The Universidad Austral de Chile (UACh).
Tarih: 23 Temmuz, 2019, Salı. Zaman: 11:15 – 12:30.
Yer: Dokuz Eylül Üniv., Tınaztepe Yerleşkesi, Fen Fak. Matematik Böl. B206 nolu seminer/toplantı odası.
Özet: ‘Phantom fenomeni’ ilk olarak Herzog tarafından [Her07], daha sonra [FGHT13] deki yazarlar tarafından abelyen kuruluma başarılı bir şekilde aktarıldı. Biz bu seminerde, ‘ghost fenomeninin’ de abelyen dünyaya aktarılabileceğini göstereceğiz. Ayrıca, üçgenleştirilmiş bir kategoride özel bazı ideallerin sonlu bir adımda sıfırlanmasının aslında abelyen dünyada özel tip ideallere ve cotorsion çiftlerine karşılık geldigini gözlemliyoruz. Bu gözlemi kullanarak, bazı uygun hipotezler altında, abelyen bir kategoride ‘Ghost’ idealinin sonlu ya da sonsuz bir adımda sıfırlandığını göstereceğiz. Bu sonucu, homolojileri sıfırlayan R-modül zincir kompleks morfizmlerinin ghost idealine uygulayacağız.
Bu seminer Sergio Estrada, X.H. Fu ve Ivo Herzog ile devam eden çalısmanın bazı kısımlarını içermektedir. Ayrıca, CONICYT/FONDECYT/Iniciaci\’on/11170394 numaralı araştırma bursu ile desteklenmektedir.
Kaynakça:
[FGHT13] Fu, X. H., Guil Asensio, P. A, Herzog, I. & Torecillas, B. (2013). Ideal approximation theory. Adv. Math. 244, 750-790.
[Her07] Herzog, I. (2007). The phantom cover of a module. Adv. Math. 215, 220–249.

İzo-artin ve İzo-Noether Modülleri Üzerine – 2

Yazarı:

Hakan Şanal, Dokuz Eylül Üniversitesi.
Tarih: 29 Mayıs, 2019, Çarşamba. Zaman: 14:30 – 16:00.
Yer: Dokuz Eylül Üniv., Tınaztepe Yerleşkesi, Fen Fak. Matematik Böl. B206 nolu seminer/toplantı odası.
Özet: Seminere sağ izo-artin (izo-noether) halkalarla sağ artin (noether) halkaları karşılaştıran örneklerle devam edeceğiz. Daha sonra, bir izo-basit modülün endomorfizma halkasıyla ilgileneceğiz.
Kaynaklar
[1] A. Facchini and Z. Nazemian, Modules with chain conditions up to isomorphism. J. Algebra 453 (2016): 578–601.
[2] A. Facchini and Z. Nazemian, Artinian dimension and isoradical of modules. J. Algebra 484 (2017): 66–87.

İzo-artin ve İzo-Noether Modülleri Üzerine

Yazarı:

Hakan Şanal, Dokuz Eylül Üniversitesi.
Tarih: 22 Mayıs, 2019, Çarşamba. Zaman: 14:30 – 16:00.
Yer: Dokuz Eylül Üniv., Tınaztepe Yerleşkesi, Fen Fak. Matematik Böl. B206 nolu seminer/toplantı odası.
Özet: Facchini ve Nazemian [1, 2] Artin ve Noether modülleri, zincir koşullarını izomorfizme göre düşünerek, genelleştirirler. Bir M modülüne izoartin (izo-noether ) denir eğer, M nin alt modüllerinin her azalan (artan) M ≥ M1 ≥ M2 ≥ · · · (M1 ≤ M2 ≤ M3 ≤ · · · ) zinciri için, bir n ≥ 1 indeksi varsa öyle ki her i ≥ n için Mn ≅Mi koşulunu sağlasın. Benzer şekilde, M ye izobasit modül denir eğer M sıfırdan farklı ve M nin sıfırdan farklı her alt modülü M ye izomorfik ise. Bu seminerde, bu üç modül sınıfının bazı özelliklerini vereceğiz.
Kaynaklar
[1] A. Facchini and Z. Nazemian, Modules with chain conditions up to isomorphism. J. Algebra 453 (2016): 578–601.
[2] A. Facchini and Z. Nazemian, Artinian dimension and isoradical of modules. J. Algebra 484 (2017): 66–87.

Eşlenik Cisimler ve İlkel Eleman Teoremi

Yazarı:

Hikmet Burak Özcan, İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü.
Tarih: 15 Mayıs, 2019, Çarşamba. Zaman: 14:30 – 16:00.
Yer: Dokuz Eylül Üniv., Tınaztepe Yerleşkesi, Fen Fak. Matematik Böl. B206 nolu seminer/toplantı odası.
Özet: Bu konuşmada ilk önce son seminerde neler yaptığımızı hatırlayacağız. Sonra eşlenik cisimlerden bahsedeceğiz ve ilkel eleman teoreminin ispatını yapacağız.

Cebirsel Sayılar Teorisine Devam

Yazarı:

Sedef Taşkın, Dokuz Eylül Üniversitesi.
Tarih: 8 Mayıs, 2019, Çarşamba. Zaman: 14:30 – 16:00.
Yer: Dokuz Eylül Üniv., Tınaztepe Yerleşkesi, Fen Fak. Matematik Böl. B206 nolu seminer/toplantı odası.
Özet: Bu konuşmada, öncelikle integral elemanlar hakkında son seminerde yaptıklarımızı hatırlayacağız. Daha sonra bütünleşik kapalı halkalara değinip örneklendireceğiz. Son olarak cebirsel elemanları ve cebirsel genişlemeleri tanıtacağız.

Cebirsel Sayılar Teorisine Son Davet

Yazarı:

Sedef Taşkın, Dokuz Eylül Üniversitesi.
Tarih: 3 Nisan, 2019, Çarşamba. Zaman: 14:30 – 16:00.
Yer: Dokuz Eylül Üniv., Tınaztepe Yerleşkesi, Fen Fak. Matematik Böl. B206 nolu seminer/toplantı odası.
Özet: Bu konuşma, cebirsel sayılar teorisi üzerine devam eden konuşma serisinin devamı niteliğindedir. Öncelikle, integral elemanlarla başlayıp, onların bazı özelliklerine değineceğiz. Daha sonra cebirsel elemanları ve cebirsel genişlemeleri tanıtacağız.

Aşağıdan Yukarı Sayma-2

Yazarı:

Noyan Er, Dokuz Eylül Üniversitesi.
Tarih: 27 Mart, 2019, Çarşamba. Zaman: 10:00-12:00
Yer: Dokuz Eylül Üniv., Tınaztepe Yerleşkesi, Fen Fak. Matematik Böl. B255 nolu derslik.
Özet: Geçen hafta başladığımızı bitireceğiz; ancak, sayma işi ilerideki seminerlerde de devam edecek.

Cebirsel Sayılar Teorisine 2. Davet

Yazarı:

Hikmet Burak Özcan, Dokuz Eylül Üniversitesi.
Tarih: 20 Mart, 2019, Çarşamba. Zaman: 10:00 – 12:00.
Yer: Dokuz Eylül Üniv., Tınaztepe Yerleşkesi, Fen Fak. Matematik Böl. B255 nolu derslik.
Özet: Bu, cebirsel sayılar teorisi seminer serisinin ikinci konuşması olacak. İlk olarak, ilk konuşmamızda neler yaptığımızı kısaca hatırlayacağız. Ardından, Chevalley tarafından kanıtlanmış, sonlu bir cisim üzerinde tanımlı diophantine denklemleriyle ilgili olan zarif teoremi açıklayacağız.