Yıl: 2024

Simetrik Polinomların Temel Teoremi, Newton Özdeşlikleri ve Diskriminant

Yazarı:

Mustafa Eren Taşlı, Dokuz Eylül Üniversitesi. Tarih: 26 Aralık 2024, Çarşamba, Saat: 15.00 – 16.00. Yer: Dokuz Eylül Üniv., Tınaztepe Kampüsü, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Sınıf B254.

Özet: F cismi üzerinde n değişkenli simetrik polinomların ve temel simetrik polinomların tanımlarını yapıp,
Simetrik Polinomların Temel Teoremini göreceğiz. x_1,x_2,\ldots,x_n değişkenli temel simetrik polinomlar şunlardır:

    \begin{align*} \sigma_1=&x_1+x_2+\ldots+x_n \\ \sigma_2=&\sum_{1 \le i < j \le n} x_ix_j \\ \vdots\\ %\ \sigma_r=&\sum_{1 \le i_1 < \ldots <i_r \le n} x_{i_1}x_{i_2}\ldots x_{i_r}\\ %\ \vdots \\ \sigma_n =&x_1 x_2 \ldots x_n \end{align*}

Simetrik Polinomların, Temel Teoremi bize, her simetrik polinomun, temel simetrik polinomların bir polinomu şeklinde yazılabileceğini söyler, yani:
Teorem. F cismi üzerinde n değişkenli f(x_1,x_2,\ldots,x_n) polinomu simetrikse, öyle bir n değişkenli g(y_1,y_2,\ldots,y_n) polinomu vardır ki

    \[f(x_1,x_2,\ldots,x_n)= g(\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_n)\]

sağlanır ve bunu sağlayan n değişkenli g(y_1,y_2,\ldots,y_n) polinomu tek türlü belirlenir.

Bu teoremi çokdeğişkenli polinomlar için \textit{derecelendirilmiş sözlük sırasını} kullanarak kanıtlayacağız.

Newton özdeşliklerindeki indirgeme bağlantılarını kullanarak değişkenlerin kuvvetlerinin toplamını, yani, k pozitif tamsayısı için

    \[s_k=x_1^k+x_2^k+\ldots+x_n^k\]

simetrik polinomlarını, temel simetrik polinomlar cinsinden yazabilmeyi öğrenip örneklerle pekiştireceğiz.\\

F cismi üzerinde x_1,x_2,\ldots,x_n değişkenli diskriminant şudur:

    \[\Delta = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_i - x_j)^2 \in F[x_1, \dots, x_n].\]

Diskriminant simetrik bir polinomdur ve bunun temel simetrik polinomlar cinsinden ifadesini determinant kullanarak göreceğiz.

Bu seminer, Simetrik Polinomların Temel Teoremi, Newton Özdeşlikleri, Diskriminant ve Resültant konulu bitirme projemin bir parçası olarak, n‘ninci dereceden bir polinomun diskriminantını (\Delta) polinomun köklerini bulmadan hesaplama yöntemine bir giriş niteliği taşımaktadır.

Yükleniyor ...

Cardano’nun Formülü ve Casus Irreducibilis

Yazarı:

Çağdaş Çiğdemoğlu, Dokuz Eylül Üniversitesi. Tarih: 18 Aralık 2024, Çarşamba, Saat: 15.00 – 16.00. Yer: Dokuz Eylül Üniv., Tınaztepe Kampüsü, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Sınıf B255.

Özet: Bir genel monik kübik denklem olan

    \[ x^3 + bx^2 + cx + d = 0, \]

formundan başlayarak, bir değişken dönüşümü ile bu denklemi

    \[ y^3 + py + q = 0 \]

şekline dönüştüreceğiz. Daha sonra, denklemin köklerini bulmak için Cardano Formülleri‘ni oluşturacağız. Kökler şu şekilde ifade edilir:

    \[ y_1 = \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}, \]

    \[ y_2 = \omega \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}} + \omega^2 \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}, \]

    \[ y_3 = \omega^2 \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}} + \omega \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}. \]

Burada \omega = e^{i \frac{2\pi}{3}} = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, birimin primitif bir küp köküdür ve yukarıdaki kübik kökler, çarpımı -\frac{p}{3} olan üç karmaşık kübik kökten biridir ve bu kökler yukarıdaki formüllerde sabittir.

Kübik polinomun diskriminantını (\Delta) öğrenecek, bunun önemini anlayacak ve diskriminant değerinin değişimine bağlı olarak köklerin nasıl değiştiğini inceleyeceğiz.

Monik kübik polinom y^3 + py + q için diskriminant aşağıdaki gibi ifade edilir:

    \[ \Delta = -27q^2 - 4p^3 = (y_1-y_2)^2(y_1-y_3)^2(y_2-y_3)^2. \]

Genel monik kübik polinom x^3 + bx^2 + cx + d için, kökleri x_1, x_2, x_3 olduğunda, diskriminant aşağıdaki gibi ifade edilir:

    \[ \Delta = b^2c^2 + 18bcd - 4c^3 - 4b^3d - 27d^2 = (x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2. \]

Ayrıca Casus Irreducibilis konusunu ele alacağız. Bu durum, b, c, d (veya p, q) katsayıları \mathbb{R}‘nin bir alt cismi F‘de olduğunda, kübik polinomun F üzerinde indirgenemez olduğu (eşdeğer olarak, kübik denk\-lemin F‘de kökü olmadığı) ve diskriminantın pozitif olduğu durumlarda ortaya çıkar. Bu durumda, kübik denklemin üç farklı gerçel kökü vardır ve bu kökler gerçel köklü ifadeler kullanılarak ifade edilemez.

Bu seminer, Galois Teorisi kullanılarak Casus Irreducibilis‘in ispatını anlamaya yönelik projem için bir giriştir.

Yükleniyor ...

 

Kriptografi ve Matematik

Yazarı:

Kariyer etkinliğimizin bu ayki teması “Kriptografi ve Matematik” olup ODTÜ Uygulamalı Matematik Enstitüsünde Kriptografi alanında doktora yapan bölümümüz 2016 mezunu Beste AKDOĞAN KÖSEMEN ile Kriptografi ve Matematik konulu bir söyleşi gerçekleştirilecektir. Etkinlik tüm matematik bölümü öğrencilerimize ve ilgilenen herkese açıktır. (Matematik Bölümü öğrencisi harici katılımcıların, etkinlik katılımı için moderatör ile iletişime geçmesi rica olunur.)

 

Konuşmacı: Araş Gör. Beste AKDOĞAN KÖSEMEN (Anakara Yıldırım Beyazıt Üniversitesi Matematik Bölümü & ODTÜ Uygulamalı Matematik Enstitüsü)
Konu: Matematik ve Kriptografi
Tarih ve Saat: 23.12.2024, 12:00
Yer: online.deu.edu.tr
Kanal: DEUMatematikKARİYER
Moderatör: Dr. Öğr. Üyesi Celal Cem SARIOĞLU

 

DOĞA VE ALTIN ORAN

Yazarı:

BAŞLIK: Doğa ve Altın Oran

KONUŞMACI: Kerem Enes Şeker

ÖZET: Matematikte altın oran geçmişte matematiksel olarak ispatlanmış olan bir kavramdır. Ancak altın oranın gün geçtikçe sadece matematik içinde olan, belli bir harfin değerinin temsil ettiği virgüllü bir sayı olmadığını fark ediyoruz. Bunun örneklerine güzellik yarışmalarında kullanılması, göçmen kuşların altın oran grafiğinde hareket etmesi, Fibonacci’nin meşhur tavşan deneyi, salyangozun kabuğu gibi sayısız örnekte bulabiliyoruz. Ben bu söyleşimizde altın oranın bu yönünü irdelemek istiyorum. Demek istediğim altın oranın matematikteki yerinden ziyade geçmiş medeniyetler altın oranı ne olarak görmüş, gerçekten güzelliğin bağlı olduğu bir şey mi, matematiğin sanatta ne işi var, gerçekten 4 yapraklı yoncanın nadir bulunması gibi nadirlik olarak görülen olaylar altın oran izin vermediği için mi? İşte bunun gibi sorularımıza söyleşimiz de cevap bulacağız.

TARİH: 11 Aralık 2024

SAAT: 15.00

YER: Dokuz Eylül Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, B255 Nolu derslik

MODERATÖR: Doğa Balcı

Matematik, Model ve Simülasyon| Teknik, Tarihsel ve Felsefi Bir Çözümleme

Yazarı:

Prof. Dr. Beno KURYEL, İzmir Ekonomi Üniversitesi (Ege Üniv. Kimya Mühendisliği Bölümü, Emekli) Tarih: 4 Aralık 2024 Çarşamba Zaman: 15:00 Yer: DEÜ-Fen Fakültesi-Matematik Bölümü-B255 nolu derslik.

Özet: Matematik felsefesiyle ilgili çok şey yazıldı ve çizildi. Yazılıp çizilmeye de devam edecek. Ancak bunlar, klasik felsefi paradigma kısıtları içinde kaldı. Matematiksel pratikle ilgili tarihsel ve felsefi çözümlemeler son zamanlarda artsa da yaygın bir konumda değil. Özellikle, bilimsel araştırmalar, uygulamalar ve teknoloji matematiksel pratiğin doğrudan içinde olduğu dinamikler. Bunların içinde matematik modelleme ve simülasyon neredeyse yaşamın her sahnesinde rol alıyor. Matematik öğretimi de bu tarihsel ve felsefi evrimden ayrı düşünülemez. Yönteme indirgenmiş bir matematik anlayışının egemen olduğu pragmatik bir dünya anlayışında bu konuyu ayrıntılarıyla açmak ve tartışmak zorunluluğu içindeyiz elbette. Matematik her yerdedir gibi önyargıları kırarak, matematiğin yaşam pratiğinde gerçekliği anlamak ve anlamlandırmak için tarihsel evrimin içinde bir dil olarak nasıl bir gelişim gösterdiğini felsefi boyutlarıyla incelemek gerekir. Matematik dilinin, gündelik betimsel dille örtüşen yanı şiirsel karakteridir. Çeşitli metonimi ve metaforlarla anlam oluşur. Her bireyin kendine özgü zekâ rengi çerçevesinde estetik bir yapı meydana getirir. Yaşamın gereksinmeleri bağlamında pekişir ve dile gelen gereksinme, dille oluşan anlam yapılarıyla giderilme yollarını arar ve çözümler getirir. Böylece, matematiğin şiiri yazılır. Matematiğin kendisi de bir modeldir, bir soyutlamadır. Evreni anlama çabamızın kültürel bir ürünüdür. Gerçekliği ararken bilimsel olarak inşa ettiğimiz olguları ifade eden bir dildir. Bir soyutlama sanatı olarak betimsel olarak algılanan somutun bilgisinin, yeniden oluşturulmasıdır. Matematik model, fizik dilinin matematik diline tercümesidr. Fiziksel gerçekliği, örneğin, kütlenin ve enerjinin korunumuna dayandırarak matematik dilinde ifade edilmesidir. Bunun hem epistemolojik hem de ontolojik boyutları vardır. Teknik olduğu kadar tarihsel süreçte evrilmesi ve bugünün teknolojisinde kaçınılmaz bir yer tutması matematikte de farklı bakış açılarının ortaya çıkmasına neden olmuşur. Matematik modellemenin matematiksel incelenmesi ve sonuçlarının ele alınan sistemin parametreleriyle araştırılması bir benzetim ya da simülasyon adımıdır. Sunumumda, bu farklı gibi görünen ancak bir bütünün dinamiklerinde anlam kazanan bileşenlere ışık tutmaya çalışacağım.

Matematikten Kodlara: Yapa Zeka ile Geleceği Şekillendirmek

Yazarı:

DEÜ Kariyer Planlama Merkezi işbirliği ile DEÜ Fen Fakültesi Matematik Bölümü olarak düzenlediğimiz  kariyer etkinliğimizin bu ayki teması “Genç Mezunlardan Kariyer İpuçları”.  Morfoz AI şirketinde uzman yazılım geliştirici olarak çalışan Matematik Bölümü 2024 mezunumuz “Şule YALIM”  ile gerçekleştireceğimiz “Matematikten Kodlara: Yapay Zeka ile Geleceği Şekillendirmek” konulu söyleşiye ilgilenen herkes davetlidir. (Matematik Bölümü öğrencisi harici katılımcıların, etkinlik katılımı için moderatör ile iletişime geçmesi rica olunur.)

Konuşmacı: Şule YALIM (DEU Matematik 2024 Mezunu / Morfoz AI, Uzman Yazılım Geliştirici)
Moderatör: Dr. Öğr. Üyesi Celal Cem SARIOĞLU
Tarih ve Saat: 30.11.2024, 19:00
Yer: online.deu.edu.tr
Kanal:  DEUMatematikKARİYER

TÜBİTAK 2209 A/B Projesi Nasıl Yazılır? Nelere Dikkat Edilmeli?

Yazarı:

Kariyer etkinliğimizin bu ayki teması “Kariyerde +1 Adım: TÜBİTAK 2209 Projesi Yazıyorum” olup, etkinliğimizde TÜBİTAK 2209 Üniversite Öğrencileri Araştırma Projeleri hakkında bilgilendirme yapılıp, proje yazarken dikkat edilmesi gereken hususlar üzerine bir söyleşi gerçekleştirilecektir.  Etkinlik tüm matematik bölümü öğrencilerimize ve ilgilenenlere açıktır.

Konuşmacı: Dr. Öğr. Üyesi Celal Cem SARIOĞLU
Tarih ve Saat: 25.10.2024, 12:15
Yer: B256 No’lu Derslik (DEÜ Fen Fakültesi Matematik Bölümü)

 

Modüllerin Minimal Üreteç Kümeleri

Yazarı:

Mücahit Bozkurt, Manisa Celal Bayar Üniversitesi.

Tarih: 9 Ekim 2024, Çarşamba, Zaman: 13:30 – 14:30. Yer: Dokuz Eylül Üniv., Tınaztepe Yerleşkesi, Fen Fak. Matematik Böl. B214 nolu ofis. (Online-Sakai-Graduate Meetings)

Özet: M bir sağ R-modül ve X, M’nin bir alt kümesi olsun. Eğer M=\sum_{x \in X} xR oluyorsa X kümesine M’nin üreteci denir. Y, M’nin herhangi bir üreteci kümesi olsun. Eğer Y’nin M’yi üreten bir öz alt kümesi yoksa Y’ye M’nin minimal üreteç kümesi denir.

Bu seminerde, modüllerin minimal üreteç kümeleriyle ilgili bazı temel sonuçlardan bahsedeceğiz.

Kaynaklar

  1. Ercolanoni, S., & Facchini, A. (2021). Projective covers over local rings. Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923-), 200(6), 2631-2644
  2. Hrbek, M., & Růžička, P. (2017). Regularly weakly based modules over right perfect rings and Dedekind domains. Czechoslovak Mathematical Journal, 67, 367-377.
  3. Hrbek, M., & Růžička, P. (2014). Weakly based modules over Dedekind domains. Journal of Algebra, 399, 251-268.

2024 – 2025 Yabancı Dil Muafiyet Sınavları

Yazarı:

2024-2025 Eğitim-öğretim yılı, eğitim dili tamamen veya kısmen yabancı dilde olan lisans programlarına yeni kayıt olan öğrenciler (yurt dışı öğrencileri dahil), bir yıl önceki hazırlık eğitiminden başarısız olan öğrenciler ve isteğe bağlı yabancı dilde hazırlık okuyacak olan öğrenciler için Yabancı Diller Yüksekokulu Müdürlüğünce yabancı dil muafiyet sınavları 03-04 Eylül 2024 tarihlerinde yapılacak olup, zorunlu ve isteğe bağlı hazırlık eğitimi alacak öğrencilerin bu sınava girmesi zorunludur.