lisans-arastirma

Simetrik Polinomların Temel Teoremi, Newton Özdeşlikleri ve Diskriminant

Yazarı:

Mustafa Eren Taşlı, Dokuz Eylül Üniversitesi. Tarih: 26 Aralık 2024, Çarşamba, Saat: 15.00 – 16.00. Yer: Dokuz Eylül Üniv., Tınaztepe Kampüsü, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Sınıf B254.

Özet: F cismi üzerinde n değişkenli simetrik polinomların ve temel simetrik polinomların tanımlarını yapıp,
Simetrik Polinomların Temel Teoremini göreceğiz. x_1,x_2,\ldots,x_n değişkenli temel simetrik polinomlar şunlardır:

    \begin{align*} \sigma_1=&x_1+x_2+\ldots+x_n \\ \sigma_2=&\sum_{1 \le i < j \le n} x_ix_j \\ \vdots\\ %\ \sigma_r=&\sum_{1 \le i_1 < \ldots <i_r \le n} x_{i_1}x_{i_2}\ldots x_{i_r}\\ %\ \vdots \\ \sigma_n =&x_1 x_2 \ldots x_n \end{align*}

Simetrik Polinomların, Temel Teoremi bize, her simetrik polinomun, temel simetrik polinomların bir polinomu şeklinde yazılabileceğini söyler, yani:
Teorem. F cismi üzerinde n değişkenli f(x_1,x_2,\ldots,x_n) polinomu simetrikse, öyle bir n değişkenli g(y_1,y_2,\ldots,y_n) polinomu vardır ki

    \[f(x_1,x_2,\ldots,x_n)= g(\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_n)\]

sağlanır ve bunu sağlayan n değişkenli g(y_1,y_2,\ldots,y_n) polinomu tek türlü belirlenir.

Bu teoremi çokdeğişkenli polinomlar için \textit{derecelendirilmiş sözlük sırasını} kullanarak kanıtlayacağız.

Newton özdeşliklerindeki indirgeme bağlantılarını kullanarak değişkenlerin kuvvetlerinin toplamını, yani, k pozitif tamsayısı için

    \[s_k=x_1^k+x_2^k+\ldots+x_n^k\]

simetrik polinomlarını, temel simetrik polinomlar cinsinden yazabilmeyi öğrenip örneklerle pekiştireceğiz.\\

F cismi üzerinde x_1,x_2,\ldots,x_n değişkenli diskriminant şudur:

    \[\Delta = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_i - x_j)^2 \in F[x_1, \dots, x_n].\]

Diskriminant simetrik bir polinomdur ve bunun temel simetrik polinomlar cinsinden ifadesini determinant kullanarak göreceğiz.

Bu seminer, Simetrik Polinomların Temel Teoremi, Newton Özdeşlikleri, Diskriminant ve Resültant konulu bitirme projemin bir parçası olarak, n‘ninci dereceden bir polinomun diskriminantını (\Delta) polinomun köklerini bulmadan hesaplama yöntemine bir giriş niteliği taşımaktadır.

Yükleniyor ...

Cardano’nun Formülü ve Casus Irreducibilis

Yazarı:

Çağdaş Çiğdemoğlu, Dokuz Eylül Üniversitesi. Tarih: 18 Aralık 2024, Çarşamba, Saat: 15.00 – 16.00. Yer: Dokuz Eylül Üniv., Tınaztepe Kampüsü, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Sınıf B255.

Özet: Bir genel monik kübik denklem olan

    \[ x^3 + bx^2 + cx + d = 0, \]

formundan başlayarak, bir değişken dönüşümü ile bu denklemi

    \[ y^3 + py + q = 0 \]

şekline dönüştüreceğiz. Daha sonra, denklemin köklerini bulmak için Cardano Formülleri‘ni oluşturacağız. Kökler şu şekilde ifade edilir:

    \[ y_1 = \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}, \]

    \[ y_2 = \omega \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}} + \omega^2 \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}, \]

    \[ y_3 = \omega^2 \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}} + \omega \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}. \]

Burada \omega = e^{i \frac{2\pi}{3}} = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, birimin primitif bir küp köküdür ve yukarıdaki kübik kökler, çarpımı -\frac{p}{3} olan üç karmaşık kübik kökten biridir ve bu kökler yukarıdaki formüllerde sabittir.

Kübik polinomun diskriminantını (\Delta) öğrenecek, bunun önemini anlayacak ve diskriminant değerinin değişimine bağlı olarak köklerin nasıl değiştiğini inceleyeceğiz.

Monik kübik polinom y^3 + py + q için diskriminant aşağıdaki gibi ifade edilir:

    \[ \Delta = -27q^2 - 4p^3 = (y_1-y_2)^2(y_1-y_3)^2(y_2-y_3)^2. \]

Genel monik kübik polinom x^3 + bx^2 + cx + d için, kökleri x_1, x_2, x_3 olduğunda, diskriminant aşağıdaki gibi ifade edilir:

    \[ \Delta = b^2c^2 + 18bcd - 4c^3 - 4b^3d - 27d^2 = (x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2. \]

Ayrıca Casus Irreducibilis konusunu ele alacağız. Bu durum, b, c, d (veya p, q) katsayıları \mathbb{R}‘nin bir alt cismi F‘de olduğunda, kübik polinomun F üzerinde indirgenemez olduğu (eşdeğer olarak, kübik denk\-lemin F‘de kökü olmadığı) ve diskriminantın pozitif olduğu durumlarda ortaya çıkar. Bu durumda, kübik denklemin üç farklı gerçel kökü vardır ve bu kökler gerçel köklü ifadeler kullanılarak ifade edilemez.

Bu seminer, Galois Teorisi kullanılarak Casus Irreducibilis‘in ispatını anlamaya yönelik projem için bir giriştir.

Yükleniyor ...

 

DOĞA VE ALTIN ORAN

Yazarı:

BAŞLIK: Doğa ve Altın Oran

KONUŞMACI: Kerem Enes Şeker

ÖZET: Matematikte altın oran geçmişte matematiksel olarak ispatlanmış olan bir kavramdır. Ancak altın oranın gün geçtikçe sadece matematik içinde olan, belli bir harfin değerinin temsil ettiği virgüllü bir sayı olmadığını fark ediyoruz. Bunun örneklerine güzellik yarışmalarında kullanılması, göçmen kuşların altın oran grafiğinde hareket etmesi, Fibonacci’nin meşhur tavşan deneyi, salyangozun kabuğu gibi sayısız örnekte bulabiliyoruz. Ben bu söyleşimizde altın oranın bu yönünü irdelemek istiyorum. Demek istediğim altın oranın matematikteki yerinden ziyade geçmiş medeniyetler altın oranı ne olarak görmüş, gerçekten güzelliğin bağlı olduğu bir şey mi, matematiğin sanatta ne işi var, gerçekten 4 yapraklı yoncanın nadir bulunması gibi nadirlik olarak görülen olaylar altın oran izin vermediği için mi? İşte bunun gibi sorularımıza söyleşimiz de cevap bulacağız.

TARİH: 11 Aralık 2024

SAAT: 15.00

YER: Dokuz Eylül Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, B255 Nolu derslik

MODERATÖR: Doğa Balcı

Öğrenci Seminerleri: Geogebra

Yazarı:

Eser Eroğlu ve Can Karaman, DEÜ Matematik Bölümü Lisans öğrencileri Tarih: 30 Kasım 2023, Perşembe Zaman: 15:00-15:45 Yer: B254 nolu derslik

Özet: Bu seminerde, Geogebra programının kullanımı ile ilgili temel bilgiler verilecektir. Bu bilgiler doğrultusunda 2 boyutlu uzayda oluşturulabilir yapılar üzerine tartışarak öğreneceğimiz bir seminer olması planlanmaktadır. Ayrıca oluşturulan yapıların popüler alanlar ve lisans matematik eğitimi dersleri ile ilişkisi ele alınacaktır.