Özet: Bu konuşmanın ilk kısmında, verilen bir cebirsel denklemin orijin civarındaki kesirli kuvvet serisini bulmak için kullanılan Newton-Puiseux algoritmasını anlamaya çalışacağız. İkinci kısımda, genel üç terimli bir cebirsel denklemin çözümlerinin Mellin dönüşümünü tasvir edeceğiz. Son kısımda, verilen genel üç terimli özel koşulları sağlayan cebirsel denklemin çözümlerini Mellin dönüşümü ve Newton-Puiseux algoritması kullanarak elde edeceğiz. Buna ek olarak, son kısımda bahsi geçen cebirsel denklemin çözümleri tarafından sağlanan hipergeometrik tip diferansiyel denklemi elde edeceğiz.
1860′ ta çığır açan raporunda Riemann, zeta fonksiyonunun asalların dağılımını anlamadaki rolünün çok önemli olduğunu gösterdi. Riemann, zeta fonksiyonunun analitik genişlemesini, sadece s=1′ de basit tekilliğiyle beraber, ispatladı. Bu konuşmada öncelikle gamma fonksiyonunu tanıtacağız. Daha sonra zeta fonksiyonunun analitik genişlemesinden bahsedeceğiz. Son olarak zeta fonksiyonunun fonksiyonel denklemini elde edeceğiz.
10 Mayıs 2019 Cuma düzenlenecek olan Arithmetica İzmir 2 Çalıştayı için son başvuru tarihi 2 Mayıs 2019’dur. Çalıştayımız MAD projesi kapsamında Türk Matematik Derneği tarafından desteklenmektedir. Türk Matematik Derneği’ne (TMD) ve MAD projesine destekleri için çok teşekkür ediyoruz.
Yer: Dokuz Eylül Üniversitesi, Matematik Bölümü, B256
Ali Ulaş Özgür Kişisel, Orta Doğu Teknik Üniversitesi
Ayberk Zeytin, Galatasaray Üniversitesi
Ekin Özman, Boğaziçi Üniversitesi
Yıldırım Akbal, Atılım Üniversitesi
Program ve Özetler
9:15—9:30: Açılış
9:30—10:45: Ali Ulaş Özgür Kişisel
10:45—11:15: Çay-Kahve molası
11:15—12:30: Ekin Özman
12:30—14:30: Öğle arası
14:30—15:45: Yıldırım Akbal
15:45—16:15: Çay-Kahve molası
16:15—17:30: Ayberk Zeytin
Ali Ulaş Özgür Kişisel, Orta Doğu Teknik Üniversitesi
Title: Line Arrangements Over Different Base Fields
Abstract: There are various obstructions regarding the existence of line arrangements in the projective plane over a given base field. In this talk, some of these obstructions and how they depend on the chosen base field will be explained.
Ekin Özman, Boğaziçi Üniversitesi
Title: Modularity, rational points and Diophantine Equations
Abstract: Understanding solutions of Diophantine equations over rationals or more generally over any number field is one of the main problems of number theory. One of the most spectacular recent achievement in this area is the proof of Fermat’s last theorem by Wiles. By the help of the modular techniques used in this proof and its generalizations it is possible to solve other Diophantine equations too. Understanding quadratic points on the classical modular curve or rational points on its twists play a central role in this approach. In this talk, I will summarize the modular method and mention some recent results about points on modular curves. This is joint work with Samir Siksek.
Yıldırım Akbal, Atılım Üniversitesi
Title: Waring’s Problem, Exponential Sums and Vinogradov’s Mean Value Theorem
Abstract: Having introduced Hardy&Littlewood Circle method, we will jump to Waring’s Problem: representability of a large integer as the sum of s kth powers of positive integers, which was the main motivation of Vinogradov to study a system equations (called Vinogradov’s system). Next we move on Vinogradov’s mean value theorem: a non-trivial upper-bound on the number of solutions to Vinogradov’s system, and then mention the milestone contributions of Vinogradov, Wooley and Bourgain (rip) et al. Last but not least, some applications of Vinogradov’s mean value theorem on exponential sums will be given.
Ayberk Zeytin, Galatasaray Üniversitesi
Title: Arithmetic of Subgroups of PSL2(Z)
Abstract: The purpose of the talk is to introduce certain arithmetic questions from a combinatorial viewpoint. The fundamental object is the category of subgroups of the modular group and its generalizations. I will try to present the different nature of arithmetic of subgroups of finite and infinite index and their relationship to classical problems. I plan to formulate specific questions at the very end of the presentation and, if time permits, our contribution to both worlds. This is partly joint with M. Uludag
Bu konuşmada, ilk olarak bir eğri üzerindeki rasyonel nokta tanımını vererek başlayacağız. Ardından eğriler üzerindeki rasyonel noktaları bulma problemini ele alacağız. Bilinen bir rasyonel noktadan nasıl yeni bir rasyonel nokta bulabileceğimizin tarifini vereceğiz. Daha sonra eliptik eğrilere kısa bir başlangıç yapacağız ve eliptik eğriler üzerindeki rasyonel noktalara değineceğiz. Son olarak da önemli sonuçlardan olan Mordell ve Siegel Teoremlerini konuşacağız.
In 1947, Erdos gave a lower bound for the diagonal Ramsey numbers R(k,k). His proof contains purely probabilistic arguments where the original problem is not related to the probability theory. This pioneering work of Erdos gave rise to a new proof technique which is so called the probabilistic method. According to this method, one just obtains the existence of a particular mathematical object in a non-constructive way. In this talk, we first introduce the Ramsey numbers and then explain the basics of the probability theory. After mentioning the fundamentals of the probabilistic method, we give several examples from the number theory. In particular using probabilistic inequalities, we show how one can prove some number theoretic results which seem completely unrelated to the probability theory.
Özet: Planar curves have been studied since the time of Gauss. Gauss was one of the first to notice that they can be handled combinatorially by codes (named as Guass codes) that are strings of labels encoding self-intersections. Whitney classified all immersed curves up to a topological relation called regular homotopy by using the winding number of immersion maps. In the first half of the 20th century Reidemeister showed that classical knot theory is equivalent to the study of immersed curves in the plane, whose self-intersections are endowed with a combinatorial structure, with an under/over-data. With this extra structure, regular homotopy needs to transforms into a richer equivalence relation generated by Reidemeister moves. Since then knot theory is a classical subject of topology, bringing us many interesting questions relating to combinatorial topology.
In this talk, we will talk about knotoids (introduced by Turaev) that provide us a new diagrammatic theory that is an extension of classical knot theory. Problem of classifying knotoids lies at the center of the theory of knotoids. We will construct a Laurent polynomial with integer coefficients for knotoids called the affine index polynomial and we will show how it contributes to the classification problem.
Özet: Bu konuşmada Schnirelmann yoğunluğu ve toplamsal baz olma kavramı nedir açıklanacaktır. Daha sonra Schnirelmann, Mann ve Erdös’ün bu konudaki sonuçlarından bahsedilecektir.
Bu konuşmada, indirgenemez projektif cebirsel eğrinin aritmetik ve geometrik cinsinin nasıl hesaplanacağını ve yönlendirilebilir Riemann yüzeyinin cinsi ile ilişkisini anlatacağız.
