Çağdaş Çiğdemoğlu, Dokuz Eylül Üniversitesi. Tarih: 18 Aralık 2024, Çarşamba, Saat: 15.00 – 16.00. Yer: Dokuz Eylül Üniv., Tınaztepe Kampüsü, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Sınıf B255.
Özet: Bir genel monik kübik denklem olan
![\[ x^3 + bx^2 + cx + d = 0, \]](https://quicklatex.com/cache3/6a/ql_2e2f8cd84c4ce76efb7fb9b06206566a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
formundan başlayarak, bir değişken dönüşümü ile bu denklemi
![\[ y^3 + py + q = 0 \]](https://quicklatex.com/cache3/66/ql_7089413af896f16aedb21c82bee30266_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
şekline dönüştüreceğiz. Daha sonra, denklemin köklerini bulmak için Cardano Formülleri‘ni oluşturacağız. Kökler şu şekilde ifade edilir:
![\[ y_1 = \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}, \]](https://quicklatex.com/cache3/46/ql_b0a5d9db041094f1b16bdb2e8028ef46_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ y_2 = \omega \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}} + \omega^2 \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}, \]](https://quicklatex.com/cache3/71/ql_a0584521c6ef0017ae10d8afff37fe71_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ y_3 = \omega^2 \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}} + \omega \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}. \]](https://quicklatex.com/cache3/9c/ql_56046791619bbdb7398799c9a828ce9c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Burada 
, birimin primitif bir küp köküdür ve yukarıdaki kübik kökler, çarpımı 
olan üç karmaşık kübik kökten biridir ve bu kökler yukarıdaki formüllerde sabittir.
Kübik polinomun diskriminantını (
) öğrenecek, bunun önemini anlayacak ve diskriminant değerinin değişimine bağlı olarak köklerin nasıl değiştiğini inceleyeceğiz.
Monik kübik polinom 
için diskriminant aşağıdaki gibi ifade edilir:
![\[ \Delta = -27q^2 - 4p^3 = (y_1-y_2)^2(y_1-y_3)^2(y_2-y_3)^2. \]](https://quicklatex.com/cache3/46/ql_d93829faf28fbe23838ebf1bbf44b746_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Genel monik kübik polinom 
için, kökleri 
olduğunda, diskriminant aşağıdaki gibi ifade edilir:
![\[ \Delta = b^2c^2 + 18bcd - 4c^3 - 4b^3d - 27d^2 = (x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2. \]](https://quicklatex.com/cache3/04/ql_e7e22903bb3446549f52a74c9bcd9604_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ayrıca Casus Irreducibilis konusunu ele alacağız. Bu durum, 
(veya 
) katsayıları 
‘nin bir alt cismi 
‘de olduğunda, kübik polinomun üzerinde indirgenemez olduğu (eşdeğer olarak, kübik denk\-lemin ‘de kökü olmadığı) ve diskriminantın pozitif olduğu durumlarda ortaya çıkar. Bu durumda, kübik denklemin üç farklı gerçel kökü vardır ve bu kökler gerçel köklü ifadeler kullanılarak ifade edilemez.
Bu seminer, Galois Teorisi kullanılarak Casus Irreducibilis‘in ispatını anlamaya yönelik projem için bir giriştir.
Cardano'nun Formülü ve Casus Irreducibilis
